Vamos al cine

¿De cuántas formas pueden sentarse 6 chicas y 4 chicos en el cine, en 10 asientos consecutivos si a) todas las chicas quieren sentarse juntas y los varones también, b) las chicas se quieren sentar juntas pero a los varones les da lo mismo, c) Daniela y Pedro no quieren estar juntos?

a) Los niños con los niños y las niñas con las niñas

Primero hay que elegir quién se sienta primero, ellas o ellos, eso sólo se puede hacer de \(2!=2\) formas.

Ahora hay que acomodar a las personas dentro de cada grupo, en el grupo de niñas se pueden acomodar de \(6!\) maneras y en el de niños de \(4!\).

Entonces la respuesta es \(2!\times6!\times4!=34\:560\)

b) Las niñas juntas

Aquí pensemos en las niñas como un sólo grupo, así que nos quedan 5 objetos para ordenar, que pueden acomodarse de \(5!\) maneras.

Luego basta con ordenar a las 6 niñas dentro del grupo de estas, lo que se puede hacer de \(6!\) maneras.

La respuesta es \(5!\times6!=86\:400\)

c) Daniela y pedro separados

Para resolver esto pensemos que el total de formas de organizarlos sin condiciones es \(10!\). Ahora, pensemos en cuántos casos Daniela y Pedro están juntos y hagámos eso considerándolos un sólo objeto, así quedan \(9!\) formas de organizar los 9 objetos, pero luego hay que multiplicar por las formas de organizar a Daniela y Pedro que son \(2!\).

Daniela y Pedro están juntos en \(2\cdot9!\) acomodos. Eso lo restamos al total de acomodos, es decir, \(10!-2\cdot9!=8\cdot9!=2\:903\:040\) en las que Daniela y Pedro están separados.

Lectura facilitada

Si quieres puedes empezar por algo más sencillo, piensa en ti y en dos de tus amigos y organízalos para sentarse en 3 sillas acomodadas en fila, ¿De cuántas formas lo lograste?

¿Y si fueran cuatro amigos y 4 sillas? ¿Qué pasa con 5 amigos y 5 sillas?

Piensa que tú y tu mejor amigo quieren sentarse juntos, si son 3 personas y 3 sillas, ¿De cuántas formas pueden sentarse?

Chicas que se caen mal

¿De cuántas maneras pueden 10 chicas formar una ronda, si 3 de ellas desean estar juntas y 2 de las 7 restantes no quieren ocupar posiciones contiguas?

Si las 10 chicas pudieran sentarse en cualquier sitio el problema se reduciría a organizar 10 objetos al rededor de un círculo. Sin embargo, hay dos condiciones que satisfacer. Comencemos pensando en las 3 chicas que no quieren separase como un sólo objeto, así que nos quedan sólo 8 objetos para organizar al rededor de un círculo, lo que resulta en \(P_{C,8}=\frac{8!}{8}=7!\). Ahora bien, las tres chicas que estarán juntas pueden sentarse de distintas formas, al no cerrar un círculo, podemos pensar que se sientan en 3 asientos contiguos, lo cuál pueden hacer de 3! maneras. En total las rondas que satisfacen la primer condición son \(7!×3!=30\:240\).

Ahora, para cumplir la segunda condición, en la que dos de las 7 chicas restantes no quieren estar juntas podemos hacer exactamente lo opuesto, contar en cuantos casos se sientan juntas y restar esos casos del total \(7!×3!\). Para sentarlas juntas haremos lo mismo que antes y consideraremos a esas dos chicas como un sólo objeto, así que nos quedan 7 objetos por ordenar en un círculo, lo que podemos hacer de \(6!\) maneras. Ahora, falta organizar a las 3 chicas que sí quieren estar juntas de 3! formas y a las dos que no quieren estar juntas de \(2!\) formas; en total tenemos \(6!×3!×2!=8\:640\).

Como dijimos, la respuesta es \(30\:240−8\:640=21\:600\) formas de sentar a las chicas, según las condiciones.

Lectura facilitada

Quizá quieras comenzar con algo más simple, intenta organizar a dos personas y a ti mismo al rededor de una mesa. Ten en cuenta que el orden es el mismo si todos tienen las mismas posiciones respecto a los demás aunque hallan girado.