Tu maestro elegirá a dos de tus compañeros de un grupo de cinco para hacer el equipo de aseo, uno barre y uno trapea. ¿De cuántas formas lo puede hacer?

Debemos elegir en orden a dos de los cinco compañeros para hacer el equipo de aseo, si aplicamos el Principio General de la Multiplicación tendríamos 5 opciones para elegir al primero y 4 para elegir al segundo, es decir, \(5\cdot4=20\) opciones.

Veamos que a diferencia de las permutaciones no vamos a organizar a todos los elementos del conjunto sino solamente a algunos de ellos. Podemos pensar en esto como ELEGIR y ACOMODAR algunos de los elementos de un conjunto, a estas elecciones ordenadas les llamamos variaciones y las definimos con la fórmula \(V^{n}_{m}=\frac{n!}{(n-m)!}\) donde n es el tamaño del conjunto y m son los elementos que vamos a elegir. Así, en nuestro caso tendríamos que las formas en las que el maestro puede hacer el equipo de aseo son \(V^{5}_{2}=\frac{5!}{(5-2)!}=\frac{5!}{3!}=5\cdot4=20\) formas.

El maestro debe escoger dos personas de las mismas 5 para hacer una carta para el director, ¿de cuántas formas lo puede hacer?

Parece el mismo problema, podríamos pensar, para la primer persona hay 5 opciones y para la segunda 4 y ya está ¿no? Pues no, este caso es diferente al anterior porque las dos personas harán el mismo trabajo y por lo tanto no importa el orden en el que los escojan el equipo de Erick y Reynaldo es el mismo que el de Reynaldo y Erick, así que debemos dividir entre la cantidad de acomodos que hay dentro de un equipo, que en este caso son \(2!\). Por lo tanto, la respuesta es \(20/2=10\)

Podemos pensar esto como ELEGIR algunos elementos de un conjunto, a estas elecciones en las que no importa el orden les llamamos combinaciones y las definimos con la fórmula \(C^{n}_{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}\) donde n es el tamaño del conjunto y m son los elementos que vamos a elegir. Así, en nuestro caso tendríamos \(C^{5}_{2}=\frac{5!}{2!(5-2)!}=\frac{5!}{2!\cdot3!}=5\cdot2=10\).

Notemos que la diferencia entre variaciones y combinaciones es que en las variaciones SÍ importa el orden, mientras que en las combinaciones NO importa el orden.

Paola colecciona estampas del mundial, tiene una de Neymar, una de Messi y dos de Cristiano Ronaldo. ¿De cuántas formas puede organizarlas?

Bueno, si Paola no tuviera repetida la estampa de Ronaldo podría acomodarlas de \(4!\) maneras, pero al tenerlas en cada acomodo podríamos intercambiar las estampas de Ronaldo y no se notaría. Entonces dividimos entre el número de acomodos de las estampas repetidas, es decir, \(\frac{4!}{2!}=12\).

Si incluímos estampas de otros jugadores, digamos 3 de Mbappe y 2 de Mané, ahora organizaríamos las 9 estampas y dividiríamos entre los acomodos de las 3 de Mbappe y las 2 de Mané, además de las dos de Ronaldo, es decir, \(\frac{9!}{2!\cdot3!\cdot2!}\).

A esto le llamamos permutaciones con repetición, las usamos para organizar por completo un conjunto que tiene elementos repetidos, si en un conjunto de \(n\) elementos \(n_1\) son idénticos entre sí, otros \(n_2\) son idénticos entre sí, ...., y finalmente otros \(n_k\) son idénticos entre sí, la cantidad de acomodos que tienen es \(PR^{n_1,n_2,...,n_k}_{n}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdots n_k!}\)