Conjunto Generador y Espacio Generado

¿Un espacio vectorial tiene un único conjunto generador?

1. De la siguiente combinación lineal, cuales son los escalares que generan al vector ( 1 , 2 ):

___( 1 , 2 )+___ ( -1 , 1 ) = ( 1 , 2 )

Observe atentamente la expresión analítica y piense: ¿Cómo se puede generar al vector ( 1 , 2 )?

2. Seleccione el punto verde y con el botón derecho elija rastro, además posiciónese sobre cada uno de los deslizadores y dando clic con botón derecho elija animación. Observe un momento y luego detenga la animación al presionar la flecha “deshacer” de la esquina superior derecha de la pantalla. Conteste, ¿cree que se pueda obtener cualquier vector en el plano R2 como combinación lineal de u= ( 1 , 2 ) y v=( -1 , 1 )?. Explique sus observaciones.

Ahora, quite la opción rastro del punto verde y mueva los puntos rojos que están al final de los vectores u y v para convertirlos en los vectores u=( -4 , 3 ) y v=( 1 , 1 ).

3. Seleccione el punto verde y con el botón derecho elija rastro, además posiciónese sobre cada uno de los deslizadores y dando clic con botón derecho elija animación, Observe un momento y luego detenga la animación al presionar la flecha “deshacer” de la esquina superior derecha de la pantalla . Conteste, crees que se pueda obtener cualquier vector en el plano R2 como combinación lineal de u= ( -4 , 3 ) y v= ( 1 , 1 )?. ¿Cree que el espacio que se genera con las combinaciones lineales de estos nuevos vectores es distinto del que se generó con los vectores de la actividad anterior?. Explica tus observaciones.

Conjunto Generador y Espacio Generado

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1. Escriba una combinación lineal que genere al vector ( 1 , 2 ):

___( 1 , 2 )+___ ( -1 , 1 ) = ( 1 , 2 )

Observe atentamente la expresión analítica y piense, ¿cómo puedes generar al vector ( 1 , 2 )?

Ahora, quite la opción rastro del punto verde y mueva los puntos rojos que están al final de los vectores u y v para convertirlos en los vectores u=( -4 , 3 ) y v=( 1 , 1 ).

4. Reflexione sobre las combinaciones lineales que se obtienen de: c1(-4,3)+c2(1,1)+c3(2,1). ¿Cree que también se podría generar cualquier vector del plano R2 como combinación lineal de u=(-4,3), v= (1,1)y w= (2,1)?

Mueva los puntos rojos que están al final de los vectores u y v para convertirlos en los vectores u=(1,2) y v=(2,4). Mueva los deslizadores lentamente y observe en el plano cuáles son los posibles vectores (punto verde) que se pueden generar con los vectores u=(1,2) y v=(2,4)

También observe mientras mueve los deslizadores, la representación algebraica que muestra distintos vectores que se pueden generar con los vectores u=(1,2) y v=(2,4)

5. Mueva el deslizador para c1=1 y c2=1 y escriba ¿cuál es el vector que se genera?

1( 1 , 2 )+1 ( 2 , 4 ) = ( __ , __ )

Mueva el deslizador para que c1=3 y encuentre otra combinación lineal que genere al vector ( 4 , 8 )

3( 1 , 2 )+__ ( 2 , 4 ) = ( 4 , 8 )

6. Muevae el deslizador para que c1=-1 y encuentre otra combinación lineal que genere al vector ( 4 , 8 ):

-1( 1 , 2 )+__ ( 2 , 4 ) = ( 4 , 8 )

7. ¿Se puede escribir una combinación lineal que genere al vector ( 3 , 6 )?: __( 1 , 2 )+__ ( 2 , 4 ) = ( 3 , 6 )

8. ¿Se puede escribir una combinación lineal que genere al vector ( -1 , -2 )?: __( 1 , 2 )+__ ( 2 , 4 ) = ( -1 , -2 )

9. ¿Se puede escribir una combinación lineal que genere al vector ( 4 , 5 )?: __( 1 , 2 )+__ ( 2 , 4 ) = ( 4 , 5 )

10. ¿Fue posible generar este último vector?______ ¿Por qué? ________________________________________________

11. Selecciona el punto verde y con el botón derecho elige rastro, además posiciónate sobre cada uno de los deslizadores y dando clic con botón derecho elige animación. Observa un momento y luego detén la animación al presionar la flecha “deshacer” de la esquina superior derecha de la pantalla . Contesta, los vectores u=(1,2) y v=(2,4) solamente pueden generar a vectores que tienen la característica y=2x