Sea \(A\) una matriz de tamaño \(n\times m\) con entradas reales. Consideremos los vectores \(v\) de \( \mathbb{R}^n\) como vectores columna. Definamos la función
\( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\)
\(T(v)=Av\)
Sean \(v, w\in\mathbb{R}\), por propiedades de matrices tenemos que
\(T(v+w)=A(v+w)=Av+Aw=T(v)+T(w)\)
\(\alpha T(v)=\alpha (Av)=A(\alpha v)=T(\alpha v)\)
Por lo tanto, las matrices son transformaciones lineales del espacio \( \mathbb{R}^n\) en \( \mathbb{R}^m\).
Ejemplo:
Consideremos la matriz \(\left[
\begin{array}{ccccc}
-1 &0\\
0 &1
\end{array}
\right]\). Esta matriz define una transformación lineal
\( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\)
\(T\left(x,y\right)=\left[
\begin{array}{ccccc}
-1 &0\\
0 &1
\end{array}
\right]\left[
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
-x\\
y
\end{array}
\right]\)
