Cursos

I: Clasificación de superficies topológicas

En este curso introduciremos la definición de superficie topológica construiremos ejemplos e identificaremos una noción de equivalencia de superficies adecuada. Nuestro objetivo es enunciar y demostrar el teorema de clasificación de superficies compactas. Este resultado clásico dice que, a pesar de sus formas aparentemente diversas, básicamente toda superficie puede obtenerse de manera muy concreta pegando los lados de ciertos polígonos planos. En este curso discutiremos la elegante e intuitiva prueba de Zeeman.
Algunas referencias:
E.C. Zeeman. An Introduction to Topology: The classification theorem for surfaces.
A. Putman. A quick proof of the classification of surfaces.
J. Gallier and D. Xu. A guide to the classification theorem for compact surfaces.
 V. Climenhaga and A. Katok. Lectures on Surfaces: (Almost) Everything You Wanted to Know about Them
J. R. Munkres. Topology.

II: El flujo geodésico y los flujos horocíclicos del plano hiperbólico

El objetivo es explorar características dinámicas del flujo geodésico y los flujos horocíclicos del plano hiperbólico. Para ello empezaremos estudiando algunos aspectos de la geometría hiperbólica y la identificación del espacio unitario tangente del plano hiperbólico con el grupo $PSL(2, \mathcal{R})$. El estudio de los flujos antes mencionados, nos permitirá entender que el flujo geodésico es un flujo de Anosov y si el tiempo lo permite estudiaremos algunos aspectos de estos flujos en variedades de dimensión 3.

Bibliografía sugerida.

C. Series, Hyperbolic geometry
Bekka, M. Bachir and Mayer, Matthias, Ergodic theory and topological dynamics of group actions on homogeneous spaces, London Mathematical Society Lecture Note Series, 269, Cambridge University Press, 2000.

Arnol'd, V. I., Mathematical methods of classical mechanics, Graduate Texts in Mathematics, 60,  Springer-Verlag, 1989.

 

III: De cómo hacer confesar a un modelo en biomatemáticas algunas de sus propiedades.

El análisis de problemas matemáticos provenientes de otras áreas del conocimiento científico es una tarea que requiere de diversos enfoques teóricos, en particular, herramientas y técnicas. Por ejemplo, el movimiento de los cuerpos celestes, el transporte de información de una neurona a otra o las interacciones que ocurren a nivel subcelular son estudiadas por medio de la teoría de los sistemas dinámicos; los cuales, son de alto grado de complejidad y usualmente de naturaleza no lineal. Más aún, los valores de los parámetros que representan cantidades que pueden ser obtenidas a partir de observaciones experimentales, regularmente son de diversos órdenes de magnitud. Esto conduce a que, en el caso de los sistemas dinámicos continuos, el análisis asintótico sea una herramienta poderosa para el análisis de ingredientes clave que pueden guiar a experimentos numéricos, o inclusive in vitro, más precisos. En este curso, exploraremos algunas técnicas provenientes del análisis asintótico, las cuales nos permitirán deducir propiedades dinámicas de modelos matemáticos cuyo origen yace principalmente en el estudio de procesos biológicos. Estas propiedades permitirán dar respuesta a algunas interrogantes que arrojan luz al entendimiento de estos fenómenos. El objetivo que perseguiremos será el análisis de problemas como los que a continuación se listan:

1. Las ecuaciones que determinan la dinámica de dos sustancias químicas en presencia de difusión fuerte.
2. Estimación de colocación de una red de pesca a una distancia crítica para el problema de la captura de peces por una flota pesquera.
3. Dinámica de localización de un pulso bioquímico a nivel subcelular bajo la influencia de un gradiente espacial de un agente catalizador.
4. Determinación de las condiciones necesarias para la persistencia en el tiempo de pulsos bioquímicos (si el tiempo lo permite).

 

Las nociones básicas que requeriremos se imparten generalmente en cursos de: cálculo diferencial e integral, variable compleja, álgebra lineal, ecuaciones diferenciales ordinarias (principalmente) y parciales.

 

Bibliografía sugerida.

F. W. J. Olver (1974). Asymptotics and Special Functions. New York: Academic Press.
Kevorkian, J. y J.D. Cole. (1981). Perturbation model in applied mathematics. New York: Springer-Verlag.
Paulsen, W. (2014). Asymptotic Analysis and Perturbation Theory. CRC Press.

 

IV: Introducción a las redes/gráficas, los modelos en redes y su inferencia

En este curso propone introducir los conceptos básicos de gráficas/redes para luego abordar dos tipos de problemas relacionados con estos elementos: la dinámica en (y de) redes y la inferencia de redes. Se busca motivar al estudiante con algunas redes reales y problemas prácticos. En compañia con los resultados teóricos se presentarán algunas simulaciones en R

Temario
1. Introducción a la teoría de redes/gráficas
a) Uno poco de historia
b) Conceptos Básicos de Redes/Gráficas
c) Gráficas aleatorias
2. Redes
a) Ejemplos de redes
b) Descripción de características de redes
c) Redes aleatorias con una distribución de grados especificada
d) Función generadora de probabilidad
e) Principales resultados
3. Dinámica en redes
a) Evolución de la red
b) Proceso de transmisión/infección
4. Inferencia estadística de la red
a) Muestreo e inferencia de una red
b) Inferencia de la topología de una red
5. Problemas abiertos

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