El principio de Dirichlet permite en muchas ocaciones concluir que el número de elementos de un conjunto es cero, o lo que es lo mismo que el conjunto cuya cardinalidad estamos buscando es vacio.

Consideremos el siguiente problema: Si se introducen n palomas a un palomar con k nidos, k < n, al menos en un nido habra 2 o más palomas. Esta versión del principio del Dirichlet se conoce como "Principio del Palomar "o " Principio de la Pichonera ".

Imaginemos 21 palomas introduciéndose en los 20 nidos de un palomar. Es claro que al menos dos de las palomas se meterán en el mismo nido.

Este principio no nos dice como localizar el nido que contiene 2 o más palomas. Sólo afirma la existencia de un nido con 2 o más palomas.

Para aplicatr ese principio debemos decir cuales objetos juegan el papel de las palomas y cuales juegan el papel de los nidos.

Ejemplos:
a) En un conjunto de 32 personas al menos 2 celebran su cumpleaños el mismo día del mes.

Si consideramos a las personas como palomas y a los días del mes como los nidos y aplicamos el principio de Dirichlet, al menos dos o más personas cumpliran años el mismo día del mes.

b) Los nombres de 10 personas son Alice, Bernard, Charles, mientras que sus apellidos son Lee, McDuff, Montana, entonces al menos 2 personas tienen el mismo nombre y apellido.

Hay 9 nombres y apellidos diferentes que seleccionar, pero son diez personas en total.

Si consideramos a las 10 personas como las palomas y a los nombres y apellidos como los nidos por el principio de Dirichlet al menos dos perosnas tienen el mismo nombre y apellido.

c) Juan regresa de la lavanderia con 12 pares de calcetines, ( cada par de distinto color) en una bolsa, al sacar cada calcetin de la bolsa aleatoriamente tendra que sacar cuando mucho trece calcetines para obtener el par.

d) Vilma opera una computadora que tiene una unidad de cinta magnética para respaldar la información. Un día le dan una cinta que contiene 600,000 "palabras" de cuatro o menos letras minúsculas. En la cinta las palabras consecutivas se separan con un caracter en blanco. ¿Puede suceder que las 600,000 palabras sean distintas entre sí?.

A partir de las reglas del reglas del producto y de la suma, el número total de palabras distintas posibles, de cuatro o menos letras es:

27⁴ + 27³ + 27² + 27 = 551,880

Estas 551,880 palabras si las consideramos como los nidos y las 600,000 palabras de la cinta como las palomas, de acuerdo al principio de Dirichlet al menos una palabra se repite en la cinta.

e) Cualquier subconjunto de tamaño seis del conjunto S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, debe contener al menos dos elementos cuya suma es 10.

Aquí los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 son las palomas, y los nidos son los subconjuntos {1, 9}, {2, 8}, {3, 7}, {4, 6}, {5}. Cuando las palomas van a sus respectivos nidos, deben ocupar al menos uno de los subconjuntos cuyos miembros suman 10.

f) Demostrar que en cualquier conjunto de 8 números enteros existen al menos dos números a y b tales que (a - b) es múltiplo de 7.

El resto de dividir un número por 7 es uno de los siete números enteros entre 0 y 6. En consecuencia si tenemos un conjunto de 8 números, al menos dos de ellos, a y b, tienen el mismo resto r en la división por 7. Esto es: a = 7q + r y b = 7q' + r donde r = 0 ó 0 < r < 7. Por lo tanto (a - b) = 7(q - q') es múltiplo de 7.