El principio de exclusión-inclusión nos dirá el tamaño de una unión en términos de varias intersecciones. Sean A₁, A₂, . . . , A_n conjuntos finitos. Para n = 2 la regla de la unión afirma que:

|A₁ A₂| = |A₁| + |A₂| |A₁ A₂|

para n = 3 el principio de exclusión-inclusión afirma que:

| A1 A2 A3 | =	| A1 | + | A2 | + | A3 | | A1 A2 |
	| A1 A3 | | A2 A3 | + | A1 A2 A3 |

y para n = 4

| A1 A2 A3 A4 | =	| A1 | + | A2 | + | A3 | + | A4 | | A1 A2 |
	| A1 A3 | | A1 A4 | | A2 A3 | | A2 A4 |
	| A3 A4 | + | A1 A2 A3 | + | A1 A2 A4 | +
	| A1 A3 A4 | + | A2 A3 A4 | +
	| A1 A2 A3 A4 |

Definición:
Para calcular el tamaño de A₁ A₂ . . . A_n debemos calcular el tamaño de todas las posibles intersecciones de conjuntos {A₁, A₂, . . . , A_n} sumar los resultados obtenidos al intersectar un numero impar de conjuntos y restar los resultados obtenidos al intersectar un número par de conjuntos.

Los términos "exclusión-inclusión" indican que hay que incluir o sumar los tamaños de los conjuntos, después excluir o restar los tamaños de las intersecciones de dos conjuntos, luego incluir o sumar los tamaños de todas las intersecciones de tres conjuntos, etc, es decir:

Ejemplos:
a) ¿Cuántos números hay del 50 al 12,000, excluyendo los múltiplos de 3 y de 5?. Es fácil equivocarse. Intentemos organizarnos: Del 50 al 12,000 hay 12,000 - 50 + 1 = 11,951 numeros. Tendríamos que restar de esta cantidad, los que son multiplos de 3 o de 5.

Si llamamos N3 al conjunto de los multiplos de 3 entre el 50 y el 12,000 y N5 al de los multiplos de 5, y si con |A| indicamos la cantidad de elementos que tiene A, la solucion a nuestro problema es

11,951 - |N3 N5|.

Ahora: |N3 N5| = |N3| + |N5| - |N3 N5| .

Notemos que ser multiplo de 3 y de 5 es lo mismo que ser multiplo de 15, entonces se N15, al conjunto de lus multiplos de 15 entre 50 y 12,000. Además que |Nk| (12,000 / k) - (49 / k), recordar que la división es entera. Entonces para obtener |N3| = (12,000 / 3) - (50 / 3) = 4,000 - 16 = 3,984. Para |N5| = (12,000 / 5 ) - (49 / 5) = 2,400 - 9 = 2,391. Y para |N15| = 800 - 3 = 797.

Así, | N3 N5 | = 3,984 + 2,391 - 797 = 5,578, y la cantidad buscada es 11,951 - 5,578 = 6,373.

b) Contemos el número de enteros en S = {1, 2, 3, ..., 2000} que son divisibles por 9, 11, 13 ó 15. Para cada k ⁺ hacemos |Dk| = {n S | n es divisible por k} y buscamos |D9 D11 D13 D15|. Notese que |Dk| (2000 / k), división entera. Por lo tanto

|D9| = 222
|D11| = 181
|D13| = 153
|D15| = 133
|D9 D11| = |D99| = 20
|D9 D13| = |D117| = 17
|D9 D15| = |D45| = 44
|D11 D13| = |D143| = 13
|D11 D15| = |D165| = 12
|D13 D15| = |D195| = 10
|D9 D11 D13| = |D1287| = 1
|D9 D11 D15| = |D495| = 4
|D9 D13 D15| = |D585| = 3
|D11 D13 D15| = |D2145| = 0
|D9 D11 D13 D15| = |D6435| = 0

Observese, por ejemplo, que D9 D15 = D45 y no D135, ya que el mcm(9,15) = 45.

Ahora por el principio de exclusión-inclusión tenemos que:

|D9 D11 D13 D15| =	222 + 181 + 153 + 133 -
	(20 + 17 + 44 + 13 + 12 + 10) +
	(1 + 4 + 3 + 0) - 0 = 581

c) Supongamos que tenemos seis computadoras con las siguientes especificaciones:

¿Cuántas computadoras tienen uno o más de los 3 tipos de hardware?

| A1 | = 2
| A2 | = 5
| A3 | = 3
| A1 A2 | = 2
| A1 A3 | = 1
| A2 A3 | = 3
| A1 A2 A3 | = 1

En consecuencia por el principio de exclusión-inclusión

| A1 A2 A3 | = 2 + 5 + 3 - 2 - 1 - 3 + 1 = 5

computadoras que tienen uno o más tipos de hardware.

d) De 200 estudiantes 50 toman el curso de matemáticas discretas, 140 el curso de economía y 24 ambos. Como ambos cursos programaron exámenes para el día siguiente, sólo los estudiantes que no esten en ninguno de estos curso podrán ir a la fiesta de la noche. Se quiere ver cuántos estudiantes iran a la fiesta.

Sea A1 = Estudiantes de matemáticas discretas y A2 = Estudiantes de economía. Por el principio de exclusión-inclusión ssse tiene que:

| A1 A2 | = 50 + 140 -24 = 166 estudiantes que toman uno o ambos cursos. En consecuencia 2002 - 166 = 34 estudiantes son los que iran a dicha fiesta.

e) Determine el número de enteros positivos n tales que 1 n 100 y n no es divisible entre 2, 3 ó 5.

Sean:

D2 = Números divisibles entre 2
D3 = Números divisibles entre 3
D5 = Números divisibles entre 5

| D2 | = 50
| D3 | = 33
| A5 | = 20
| D2 D3 | = | D6 | = 16
| D2 D5 | = | D10 | = 10
| D3 D5 | = | D15 | = 6
| D2 D3 D5 | = | D30 | = 3

Aplicando el principio de exclusión-inclusión tenemos que

| D2 D3 D5 | = 50 + 33 + 20 - 16 - 10 - 6 + 3 = 74

Por lo tanto 100 - 7 4 = 26 número que no son divisble entre 2, 3, ó 5.

Estos número son 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97