4.1 REGLAS DE LA SUMA Y EL PRODUCTO

Definición:
Para cualquier conjunto finito, se escribe || para denotar la cantidad de elementos de dicho conjunto, de esta manera || = || precisamente cuando s y t son del mismo tamaño. Observemos que:

||=0 y |{1,2,3...n} | = n n+

Regla de la Suma (Regla de la Unión)
Si y son dos conjuntos finitos:

a) Si y son disjuntos, es decir, = , entonces || = || + ||

b) En general || = || + || ||

La razón intuitiva por la que se cumple b) es que cundo calculamos || + || se estan contando dos veces los elementos de , por lo que debemos restar || de la suma de || + || para obtener ||.

Ejemplos:
a) En una escuela 20 alumnos toman clases de computación, 30 fisica y 7 de ellos toman ambas. ¿Cuántos alumnos hay en total?

Sea C el conjunto de los alumnos que toman la clase de computación y sea F el conjunto de los alumnos que toman la clase de física. Aplicando la regla de la suma tenemos que:

|CF| = |C| + |F| |CT|
  = 20 + 30 - 7
  = 43

Es decir, en total hay 43 alumnos.

b) ¿Cuántos enteros en S = {1, 2, 3, ..., 1000} son divisibles por 3 o 5?

Sean:
D3 = {n S | n es divisible por 3}
D5 = {n S | n es divisible por 5}

Buscamos el número de elementos en D3 D5, que no es obvio. Puede verse que | D3 | =333; basta dividir 1000 entre 3 y redondear.De la misma manera | D5 | = 200. Además |D3 D5| = |D15| = 66.

Por b) de la Regla de la Suma tenemos que:

| D3 D5 | = 333 + 200 – 66 = 467 números enteros que son divisibles por 3 o 5.

c) La biblioteca de una universidad tiene 40 libros de texto de sociología y 50 de antropología. Por a) de la Regla de la Suma, un estudiante de esta universidad puede elegir entre 40 + 50 libros de texto para aprender acerca de alguno de estos temas.

d) Un instructor de ciencias de la computación tiene cinco libros de cada uno de los siguientes lenguajes de programación: Basic, Fortran, C, Pascal, por lo que puede recomendar cualquiera de estos veinte libros a un estudiante interesado en aprender un lenguaje de programación.

Ahora, el ejemplo anterior muestra que se puede generalizar esta regla.

Así

|A B C |= | (A B) C |
  = |(A B) | + | C | - | (A B) C |
  = | A | + | B | - | A B | + | C | - |( A C ) ( B C )|
  = | A | + | B | - | A B | + | C | - | A C | - | B C | + |( A C ) ( B C )|
  = | A | + | B | + | C | - | A B | - | A C | - | B C | + | A B C |

y en general:

Si A1, …, An son n conjuntos finitos con cardinalidades | A1| , . . . , | An|, se verifica que:

Ahora bien, si A = { A1, A2, . . . , An} son una partición del conjunto A, entonces el principio se reduce a:

| A | = | A1| + | A2| + . . . + | An |, o bien | A1 A2 . . . An | = | A1| + | A2| + . . . + | An |

Regla del Producto (Principio de Elección)
Para conjuntos finitos S y T se tiene que | S T | = | S | · | T | ya que S T = { ( s, t ) | s S y t T } y para cada una de las | S | selecciones en s en S hay | T | elecciones para t en T.

Ejemplo:
Sean S = {1, 2} y T = { a, b, c }, entonces | S | = 2 y | T | = 3, por lo que:

| S T | = | S | · | T | = 2 · 3 = 6, dichos elementos son:

S T = {( 1, a ), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}

Regla del Producto
a) Para conjuntos finitos S1, S2, . . Sk se tiene que:

b) De manera más general, supongamos que un conjunto dado puede verse como k-adas ordenadas (s1,...,sk) con la siguiente estructura: Hay n1 elecciones posibles S1. Dado S1 hay n2 elecciones posibles S2. Dados S1 y S2 hay n3 elecciones posibles de S3. En general dados S1,.... Sj-1, hay nj elecciones posibles Sj. Entonces el conjunto tiene n1 · n2 · . . . · nk elemento.

Ejemplos:
a) Calculemos el número de maneras distintas de seleccionar 5 cartas con reemplazo de una baraja de 52 cartas. Así procedemos a contar quintillas ordenadas de cartas de la baraja. Con reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. El conjunto de formas de seleccionar 5 cartas con reemplazo esta en correspondencia uno a uno con D · D · D · D · D = D5, donde D es el conjunto de cartas de 52 elementos. Por lo tanto, por a) de la regla del producto, el conjunto tiene 525 elementos. También este problema puede resolverse utilizando b) de la misma regla. Hay 52 maneras de seleccionar la primera carta. Después al regresar la carta hay 52 maneras de seleccionar la segunda y así sucesivamente, por lo tanto hay 52 · 52 · 52 · 52 · 52 formas de seleccionar cinco cartas con reemplazo.

b) Calculemos ahora la forma de seleccionar 5 cartas distintas sin reemplazo de una baraja de 52 cartas. Sin reemplazo significa que una vez seleccionada una carta ya no es posible regresarla a la baraja. Esta vez a) de la regla del producto no puede aplicarse, ya que están prohibidas las quintillas donde se repita una carta. Sin embargo podemos aplicar la regla b) del producto. La primera carta puede seleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51 maneras. La tercera puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. De manera que para elegir 5 cartas sin reemplazo existen 52 · 51 · 50 · 49 · 48 formas diferentes.

c) El club de teatro de la Universidad realiza ensayos para una obra de teatro que se montará el próxima año. Si seis hombres y ocho mujeres ensayan para los papeles principales (masculino y femenino), por la regla del producto, el director puede elegir a la pareja principal de 6 · 8 = 48 formas diferentes.

d) En una fabrica de placas de automóvil, cada placa consta de dos letras y cuatro dígitos:

i) Si ninguna letra o dígitos se pude repetir habrá:
27 · 26 · 10 · 9 · 8 · 7 = 3'538,080 placas posibles diferentes.

ii) Si se permite repetir las letras y los dígitos será posible tener
27 · 27 · 10 · 10 · 10 · 10 = 7'290, 000 placas diferentes.

iii) Si no permite que dos dígitos juntos se repitan, entonces habrá:
27 · 27 · 10 · 9 · 9 · 9 = 5'314,410 placas diferentes.