La solución (total) a una relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes es la suma de dos partes, la solución homogénea que satisface la ecuación en diferencias (relación de recurrencias), cuando el lado derecho de la ecuación se hace cero y la solución particular, que satisface la ecuación en diferencias con f(r) en el lado derecho. En otras palabras la función numérica discreta que es solución de la ecuación en diferencias es la suma de dos funciones numéricas discretas una es la solución homogénea y otra es la solución particular.

Sean: la solución homogénea y la solución particular a la ecuación en diferencias. Puesto que:

y

Tenemos que:

La solución satisface la ecuación en diferencias (relación de recurrencias).

Una solución homogénea para la ecuación de recurrencia lineal con coeficientes constantes de la forma: , donde se conoce como una raíz característica y A es una constante determinada por los valores iniciales. Si sustituimos por a_r en la ecuación de recurrencia con el lado derecho de la ecuación igual a cero, obtenemos:

La ecuación puede simplificarse como:

la cual se conoce como ecuación característica de la ecuación de recurrencia. Por lo tanto si es una de las raíces de la ecuación caracteríistica (ésta es la razón de que se llame raíz característica), es una solución homogénea de la ecuación de recurrencia.

Una ecuación característica de k-ésimo grado tiene k raíces caracter´siticas. Supongamos que las raíces de la ecuación característica son todas distintas. En este caso sencillo

También es una solución homogénea de la ecuación de recurrencia donde:

son las distintas raíces características y los A₁, A₂, ..., A_k son constantes que están determinados por los valores iniciales.

Ejemplo:
Consideremos de nuevo la sucesión de Fibonacci. La relación de recurrencia lineal con coeficientes constantes homogénea de segundo orden para la sucesión de Fibonacci es

a_r = a_r-1 - a_r-2

La correspondiente ecuación caracteríitica es

La cual tiene dos raíces distintas

De lo cual se obtiene que

es una solución homogénea donde las dos constantes A₁ y A₂ serán determinados a partir de las condiciones iniciales a_o = 1 y a₁ = 1.

Ejemplo:
Considerese la siguiente relación de recurrencia

La ecuación característica es

Así

es una solución homogénea ya que -2 es una raíz característica tripe.

Este solución viene de la siguiente observación:

Supongamos que algunas de las raíces de la ecuación característica son raíces multiples. Sea una ráiz de multiplicidad m. La correspondiente solución homogénea es:

donde las constantes A_i serán determinadas por las condiciones iniciales.

Ejemplo:
Sea la ecuación de recurrencia:

La ecuación característica es:

Las raíces características son ½, ½ y 4. Enconsecuencia la solución homogénea es: