Supongamos que una serie de cubos numerados 1, 2, 3 están en una mesa infinitamente larga y que los cubos están marcados con una "X", como se muestra a continuación:
y supóngase que:
a) El primer cubo esta marcado.
b) Si todos los cubos anteriores al cubo (n + 1) están marcados, entonces el cubo (n + 1) también lo esta.
a) y b) implican que cada cubo esta marcado, examinando los cubos uno por uno.
La afirmación a) establece de manera explícita que el cubo 1 esta macado. Considerando el cubo 2, todos los cubos anteriores al cubo 2 estan marcados, o sea, el cubo 1 y así de acuerdo a b) el cubo 2 también está marcado. Considerando el cubo 3, todos todos los cubos anteriores al cubo 3 están marcados, o sea, los cuales 1 y 2 así de acuerdo a b) el cubo 3 esta marcado.
Para mostrar que el cubo 5 está marcado, se observa que todos los cubos anteriores al cubo 5 están marcados, de modo que por b), el cubo 5 también esta marcado.
Este ejemplo ilustra el principio de inducción matemática.
Para mostrar como se puede utilizar las inducción de manera más
profunda, sea 
n
la suma de los n enteros positivos n
= 1 + 2+ +3 + ... + n
Ahora supongamos que alguien afirma que:
| n
= |
 |
para n = 1, 2, 3, ...
Esto establece una serie de afirmaciones:
Supongamos que cada ecuación verdadera tiene una X junto a ella. Como la primera ecuación es verdadera, ésta marcada.
Ahora debemos demostrar que si todas las ecuaciones anteriores a la ecuación (n +1) son verdaderas, entonces la ecuación (n + 1) también lo es.
Suponiendo que todas las ecuaciones anteriores a la ecuación (n +1) son verdaderas, entonces la ecuación (n) es verdadera:
| n
= |
|
Debemos demostrar que la ecuación (n +1)
es verdadera. De acuerdo a la definción:
| n+1
= |
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) |
n
esta contenida dentro de n+1
en el sentido de que
|
|
= |
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) |
|
= |
n
+ (n + 1) |
De donde se obtiene que:
| n+1 |
= |
+ 2 + 3 + ... + n + (n + 1) |
|
|
= |
|
+ (n +1) | |
|
= |
 |
||
Otro ejemplo seria n
= 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n², para
n = 1, 2, 3, ...
Es decir, la suma de los n primeros números impares es n². Donde tenemos que
| 1 |
= 1² = 1 |
| 2 |
= 2² = 4 |
| 3 |
= 3² = 9 |
| . . . |
|
| n-1 |
= (n - 1)² |
| n |
= n² |
Donde se observa que 1
es verdadera.
Suponiendo que n
es verdadera, debemos demostrar que la ecuación (n + 1), n+1
= (n +1)², es verdadera. El n-ésimo término
es (2n - 1), entonces el siguiente seria (2n + 1).
De acuerdo a la definición:
| n+1 |
= 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) + (2n + 1) |
| = n
+ (2n + 1) |
|
| = n² + (2n + 1) | |
| = n² + 2n + 1 | |
| = (n + 1)² |