El sistema de los números naturales tiene un defecto manifiesto en que dados m, n , la ecuación m + x = n puede o no tener solución, por ejemplo, la ecuación m + x = m carece de solución, mientras que la ecuación m + x = m* (siguiente) tiene la solución x = 1. Es sabido que esto se remedia añadiendo a los numeros naturales el cero y los números enteros negativos para formar el conjunto de los números enteros . Dicho símbolo proviene del alemán Zahl (número).

Entonces:
={1, 2, 3, …, }
= {-, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ..., }

ALGUNAS PROPIEDADES DE

1	Ley de la clausura	r + s , r, s
2	Ley conmutativa	r + s = s + r, r, s
3	Ley Asociativa	r + (s + t) = (r + s) + t, r, s, t
4	Ley de la cancelación	Si r + t = s + t entonces r = s, r, s, t
5	Neutro Aditivo	un único 0 tal que r + 0 = 0 + r = r, r
6	Simétrico Aditivo	Para cada r un único simétrico aditivo -r tal que r +(-r) = (-r) + r = 0, r

1	Ley de la clausura	r · s , r, s
2	Ley conmutativa	r · s = s · r, r, s
3	Ley Asociativa	r · (s · t) = (r · s) · t, r, s, t
4	Ley de la cancelación	Si r · t = s · t entonces r = s, r, s, t
5	Neutro Multiplicativo	un único 1 tal que r · 1 = 1 · r = r, r

1	r · (s + t) = r ·s + r · t , r, s, t
2	(s + t) · r = s · r + t · r , r, s, t

DIVISORES

Un entero a 0 se llama divisor (o factor) de un elemento b (lo cual denota a | b) si c tal que

b = a · c

cuando a | b se dice que b un múltiplo de a.

Ejemplos:
a) 2 | 6 ya que c = 3 tal que 6 = 2 · 3

b) -3 | 15 ya que c = -5 tal que 15 = (-3) · (-5)

c) a | 0 ya que a , 0 = a · 0

PRIMOS

Como a · 1 = (-a) · (-1) = a a , se dice que ±1 y ±a son divisores de a. Un entero p0 y p±1 se dice que es primo si y solo si sus únicos divisores son ±1 y ±p.

Ejemplos:
a) 2 es primo ya que sus únicos divisores son ±2, ±1

b) -5 es primo ya que sus únicos divisores son ±5, ±1

c) 6 no es primo ya que sus divisores son ±6, ±3, ±2, ±1

d) 39 no es primo ya que sus divisores son ±39, ±13, ±3, ±1

Esta claro que -p es primo si y solamente si p lo es, por lo que solamente será necesario referirse a los primos positivos.

MAXIMO COMUN DIVISOR (MCD)

Si a | b y a | c se dice que a es un divisor común de b y c. Si además todo divisor común de b y c también es de a, se dice que a es el máximo común divisor de b y c.

Ejemplo:
a) ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12; son divisores comunes de 24 y 60

b) ±12 es el MCD de 24 y 60

AXIOMAS DE PEANO

La construcción del sistema de los números naturales supone solamente unas cuantas de sus propiedades más simples. Estas propiedades más simples, conocidas como Axiomas (postulados) de Peano por el matemático italiano que los enuncio en 1989, se pueden estableces como sigue:

Sea un conjunto no vacío tal que:

Axioma I: 1 .
Axioma II: Para cada n n* , llamado siguiente de n.
Axioma III: Para cada n se tiene n* 1.
Axioma IV: Si m, n y m* = n*, entonces m = n.
Axioma V: Todo subconjunto K de que tenga las propiedades
a) 1 K
b) k* K siempre que k K
es el mismo .

Éstas son propiedades bien conocidas de los números naturales. Los axiomas I y II no requieren más explicación; el III establece que hay un primer número natural, el 1; el IV dice que distintos números naturales m y n tienen distintos siguientes m +1 y n + 1; el V dice en esencia que cualquier número natural puede alcanzarse comenzando con 1 y contando los siguientes consecutivos.